要するに「綺麗にお使いください」というメッセージなのはわかるのですが、この文面だと、

”お互い”=”俺とお前”

で、”俺”はトイレ。
”お前”は利用者、つまり僕です。

そうすると、後段で「水を流せ」と促すことで”俺”は綺麗になります。
すると、綺麗になっていないのは”お前”=僕なので「お前も綺麗にしろ」つまり「手はちゃんと洗えよ」と言う、余計なお世話かつ的確なメッセージだと思うのです。コンビニのトイレも奥が深いですね。